Operacje binarne

Operacje binarne

Tak jak otrzymujemy liczbę, gdy dwie liczby są albo dodawane, albo odejmowane, albo mnożone, albo dzielone. Operacje binarne kojarzy dowolne dwa elementy zestawu. Ich wypadkowa znajduje się w tym samym zbiorze. Operacje binarne na zbiorze to obliczenia, które łączą dwa elementy zbioru (zwane operandami) w celu uzyskania innego elementu tego samego zbioru.

Operacje binarne * na niepustym zbiorze A są funkcjami z A × A do A. Operacja binarna, *: A × A → A. Jest to operacja dwóch elementów zbioru, których dziedziny i współdziedziny są w tym samym zbiorze.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, wykładnicze to niektóre z operacji binarnych.

Pobierz Relacje Cheat Sheet PDF klikając na przycisk Pobierz poniżej

Właściwości operacji binarnych

• Właściwość zamknięcia: Operacja * na niepustym zbiorze A ma własność domknięcia, jeśli a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Dodawanie to operacje binarne na każdym ze zbiorów liczb naturalnych (N), całkowitych (Z), racjonalnych (Q), rzeczywistych (R), zespolonych (C).

Dodawanie na zbiorze wszystkich liczb irracjonalnych nie jest operacją binarną.

• Mnożenie jest operacją binarną na każdym ze zbiorów liczb naturalnych (N), całkowitych (Z), racjonalnych (Q), rzeczywistych(R), złożonych(C).

Mnożenie na zbiorze wszystkich liczb irracjonalnych nie jest operacją binarną.

• Odejmowanie jest operacją binarną na każdym ze zbiorów Liczb całkowitych (Z), Liczb wymiernych (Q), Liczb rzeczywistych(R), Liczb zespolonych(C).

Odejmowanie nie jest operacją binarną na zbiorze Liczb naturalnych (N).

• Dzielenie nie jest operacją binarną na zbiorze liczb naturalnych (N), całkowitych (Z), Racjonalnych (Q), Liczb rzeczywistych(R), Złożonych(C).
• Operacja wykładnicza (x, y) → xy jest operacją binarną na zbiorze liczb naturalnych (N), a nie na zbiorze liczb całkowitych (Z).

Typy operacji binarnych

Komutatywne

Operacja binarna * na zbiorze A jest komutatywna, jeśli a * b = b * a, dla wszystkich (a, b) ∈ A (zbiór niepusty). Niech dodawanie będzie operacją binarną dla a = 8 i b = 9, a + b = 17 = b + a.

Browse more Topics Under Relations And Functions

• Relacje
• Funkcje
• Typy relacji
• Typy funkcji
• Reprezentacja funkcji
• Kompozycja funkcji (ang. of Functions and Invertible Function
• Algebra of Real Functions
• Cartesian Product of Sets
• Operacje binarne

Asocjacyjne

Własność asocjacyjna operacji binarnych zachodzi, jeśli, dla niepustego zbioru A, możemy napisać (a * b) *c = a*(b * c). Załóżmy, że N jest zbiorem liczb naturalnych, a mnożenie jest operacją binarną. Niech a = 4, b = 5 c = 6. Możemy napisać (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Dystrybucyjne

Niech * i o będą dwiema operacjami binarnymi określonymi na niepustym zbiorze A. Operacje binarne są dystrybucyjne, jeśli a*(b o c) = (a * b) o (a * c) lub (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Potraktujmy * jako mnożenie, a o jako odejmowanie. I a = 2, b = 5, c = 4. Zatem a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. I (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identyfikacja

Jeśli A jest zbiorem niepustym i * jest operacją binarną na A. Element e jest elementem tożsamości a ∈ A, jeśli a * e = a = e * a. Jeśli operacją binarną jest dodawanie(+), e = 0, a dla * jest mnożenie(×), e = 1.

Odwracalność

Jeśli operacja binarna * na zbiorze A, która spełnia a * b = b * a = e, dla wszystkich a, b ∈ A. a-1 jest odwracalna, jeśli dla a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 jest odwracalne, gdy * jest mnożeniem.

Solved Example for You

Pytanie 1: Wykaż, że dzielenie nie jest operacją binarną w N ani odejmowanie w N.

Odpowiedź : Niech a, b ∈ N

Przypadek 1: Operacja binarna * = dzielenie(÷)

-: N × N→N dana przez (a, b) → (a/b) ∉ N (jako 5/3 ∉ N)

Przypadek 2: Operacja binarna * = odejmowanie(-)

-: N × N→N dana przez (a, b)→ a – b ∉ N (ponieważ 3 – 2 = 1 ∈ N, ale 2-3 = -1 ∉ N).

Pytanie 2: Czy wszystkie operacje binarne są domknięte?

Odpowiedź: Wiele zbiorów, które mogą być Ci znane, jest domkniętych pod pewnymi operatorami binarnymi, natomiast wiele nie jest. I tak, zbiór liczb całkowitych nieparzystych pozostaje zamknięty na mnożenie. Na przykład, zbiór liczb całkowitych nieparzystych nie jest zamknięty na dodawanie, ponieważ suma dwóch liczb nieparzystych nie zawsze jest nieparzysta, a właściwie nigdy nie jest nieparzysta.

Pytanie 3: Czy pierwiastek kwadratowy jest operacją binarną?

Odpowiedź: Operacja nie-binarna odnosi się do procesu matematycznego, który wymaga tylko jednej liczby, aby coś osiągnąć. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie są przykładami operacji binarnych. Podobnie, przykłady operacji nie-binarnych składają się z pierwiastków kwadratowych, czynnikowych, jak również wartości bezwzględnych.

Pytanie 4: Co to jest element tożsamości w operacji binarnej?

Odpowiedź: Element tożsamościowy lub element neutralny w operacji binarnej odnosi się do specjalnego rodzaju elementu zbioru w odniesieniu do operacji binarnej na tym zbiorze, który pozostawia element zbioru nienaruszony, gdy jest z nim połączony. Używamy tego pojęcia w strukturach algebraicznych, takich jak grupy i pierścienie.

Pytanie 5: Co to jest przepełnienie binarne?

Odpowiedź: Przepełnienie ma miejsce wtedy, gdy wielkość liczby przekracza zakres dozwolony przez rozmiar pola bitowego. Suma dwóch identycznie podpisanych liczb może bardzo dobrze przekroczyć zakres pola bitowego tych dwóch liczb, a zatem przepełnienie może być możliwe w tym przypadku.