Operații binare

Suntem destul de familiarizați cu operațiile aritmetice cum ar fi adunarea, scăderea, împărțirea și înmulțirea. De asemenea, știm despre funcția exponențială, funcția log etc. Astăzi vom învăța despre operațiile binare. După cum sugerează și numele, binar înseamnă două. Asta înseamnă că putem folosi două funcții simultan folosind operația binară? Haideți să aflăm.

Sugestii video

Operație binară

La fel cum obținem un număr atunci când două numere fie se adună, fie se scad, fie se înmulțesc, fie se împart. Operațiile binare asociază două elemente oarecare ale unui ansamblu. Rezultanta celor două se află în același set. Operațiile binare asupra unui ansamblu sunt calcule care combină două elemente ale ansamblului (numite operanzi) pentru a produce un alt element al aceluiași ansamblu.

Operațiile binare * asupra unui ansamblu nevid A sunt funcții de la A × A la A. Operația binară, *: A × A → A. Este o operație a două elemente ale ansamblului ale căror domenii și co-domenii sunt în același ansamblu.

Aducerea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, divizarea, exponențiala sunt câteva dintre operațiile binare.

Download Relations Cheat Sheet PDF by clicking on Download button below

Proprietăți ale operației binare

• Proprietatea de închidere: O operație * pe un ansamblu nevid A are proprietatea de închidere, dacă a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
• Addițiile sunt operațiile binare pe fiecare dintre ansamblurile de numere naturale (N), numere întregi (Z), numere raționale (Q), numere reale (R), numere complexe (C).

Adațiile pe ansamblul tuturor numerelor iraționale nu sunt operații binare.

• Multiplicarea este o operație binară pe fiecare dintre seturile numere naturale (N), numere întregi (Z), numere raționale (Q), numere reale(R), numere complexe(C).

Multiplicarea pe setul tuturor numerelor iraționale nu este o operație binară.

• Subtragerea este o operație binară pe fiecare dintre seturile numerelor întregi (Z), numerelor raționale (Q), numerelor reale(R), numerelor complexe(C).

Subtragerea nu este o operație binară pe setul numerelor naturale (N).

• Diviziunea nu este o operație binară pe ansamblul numerelor naturale (N), numerelor întregi (Z), numerelor raționale (Q), numerelor reale(R), numerelor complexe(C).
• Operația exponențială (x, y) → xy este o operație binară pe setul de numere naturale (N) și nu pe setul de numere întregi (Z).

Tipuri de operații binare

Commutativă

O operație binară * asupra unui ansamblu A este comutativă dacă a * b = b * a, pentru toate (a, b) ∈ A (ansamblu nevid). Fie adunarea operația binară comutativă pentru a = 8 și b = 9, a + b = 17 = b + a.

Cercetăriți mai multe subiecte la rubrica Relații și funcții

• Relații
• Funcții
• Tipuri de relații
• Tipuri de funcții
• Reprezentarea funcțiilor
• Compoziție of Functions and Invertible Function
• Algebra funcțiilor reale
• Produs cartezian de ansambluri
• Operații binare

Asociative

Proprietatea asociativă a operațiilor binare se păstrează dacă, pentru un ansamblu nevid A, se poate scrie (a * b) *c = a*(b * c). Să presupunem că N este ansamblul numerelor naturale și că înmulțirea este operația binară. Fie a = 4, b = 5 c = 6. Putem scrie (a × b) × c = 120 = a × (b × c).

Distribuție

Să fie * și o două operații binare definite pe un ansamblu nevid A. Operațiile binare sunt distributive dacă a*(b o c) = (a * b) o (a * c) sau (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Se consideră că * reprezintă înmulțirea, iar o reprezintă scăderea. Și a = 2, b = 5, c = 4. Atunci, a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. Și (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.

Identitate

Dacă A este un ansamblu nevid și * este operația binară asupra lui A. Un element e este elementul identitate al lui a ∈ A, dacă a * e = a = e * a. Dacă operația binară este adunarea(+), e = 0, iar pentru * este înmulțirea(×), e = 1.

Inversibilă

Dacă este o operație binară * asupra unui ansamblu A care satisface a * b = b * a = e, pentru toate a, b ∈ A. a-1 este inversabilă dacă pentru a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 este inversabil când * este înmulțire.

Exemplu rezolvat pentru tine

Întrebare 1: Arătați că împărțirea nu este o operație binară în N și nici scăderea în N.

Răspuns : Fie a, b ∈ N

Cazul 1: Operația binară * = diviziune(÷)

-: N × N→N dat de (a, b) → (a/b) ∉ N (ca 5/3 ∉ N)

Cazul 2: Operația binară * = scădere(-)

-: N × N→N dat de (a, b)→ a – b ∉ N (deoarece 3 – 2 = 1 ∈ N, dar 2-3 = -1 ∉ N).

Întrebare 2: Sunt toate operațiile binare închise?

Răspuns: Multe seturi care vă sunt cunoscute sunt închise sub anumiți operatori binari, în timp ce multe nu sunt. Astfel, ansamblul numerelor întregi impare rămâne închis sub înmulțire. De exemplu, ansamblul numerelor întregi impare nu este închis sub adunare, deoarece suma a două numere impare nu este întotdeauna impară, de fapt, nu este niciodată impară.

Întrebare 3: Este rădăcina pătrată o operație binară?

Răspuns: Rădăcina pătrată este o operație binară?

Răspuns: O operație non-binară se referă la un proces matematic care necesită un singur număr pentru a obține ceva. Adăugarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea sunt exemple de operații binare. În mod similar, exemple de operații non-binare constau în rădăcini pătrate, factoriale, precum și valori absolute.

Întrebarea 4: Care este elementul de identitate într-o operație binară?

Răspuns: „Nu este o operație binară: Un element de identitate sau un element neutru în operația binară se referă la un tip special de element al unui ansamblu în ceea ce privește o operație binară asupra acelui ansamblu, care lasă neafectat un element al ansamblului atunci când este combinat cu acesta. Folosim acest concept în structurile algebrice, cum ar fi grupurile și inelele.

Întrebare 5: Ce este supraîncărcarea binară?

Răspuns: Depășirea are loc atunci când magnitudinea unui număr depășește intervalul permis de mărimea câmpului de biți. Suma a două numere cu semn identic poate foarte bine să depășească intervalul câmpului de biți al celor două numere și, astfel, depășirea poate fi o posibilitate în acest caz.

.