Betweenness centrality

Perkolační centralita je verzí vážené betweenness centrality, ale při výpočtu této váhy zohledňuje „stav“ zdrojového a cílového uzlu každé nejkratší cesty. K perkolaci „nákazy“ dochází ve složitých sítích v řadě scénářů. Například virová nebo bakteriální infekce se může šířit v sociálních sítích lidí, tzv. kontaktních sítích. O šíření nákazy lze uvažovat i na vyšší úrovni abstrakce, pokud uvažujeme o síti měst nebo populačních center propojených silničními, železničními nebo leteckými spoji. Počítačové viry se mohou šířit v počítačových sítích. Prostřednictvím sociálních sítí lidí se mohou šířit také fámy nebo zprávy o obchodních nabídkách a obchodech. Ve všech těchto scénářích se „nákaza“ šíří po spojích složité sítě a při šíření mění „stavy“ uzlů, ať už obnovitelně, nebo jinak. Například v epidemiologickém scénáři přecházejí jednotlivci při šíření nákazy ze stavu „vnímavý“ do stavu „nakažený“. Stavy, které mohou jednotlivé uzly ve výše uvedených příkladech nabývat, mohou být binární (například obdržel/neobdržel zprávu), diskrétní (vnímavý/nakažený/vyléčený) nebo dokonce spojité (například podíl nakažených lidí ve městě), jak se nákaza šíří. Společným rysem všech těchto scénářů je, že šíření nákazy vede ke změně stavů uzlů v sítích. S ohledem na to byla navržena perkolační centralita (PC), která konkrétně měří důležitost uzlů z hlediska napomáhání pronikání nákazy sítí. Tuto míru navrhl Piraveenan a kol.

Perkolační centralita je definována pro daný uzel v daném čase jako podíl „perkolovaných cest“, které procházejí tímto uzlem. ‚Perkolovaná cesta‘ je nejkratší cesta mezi dvojicí uzlů, kde je zdrojový uzel perkolován (např. infikován). Cílový uzel může být perkolovaný, neperkolovaný nebo v částečně perkolovaném stavu.

P C t ( v ) = 1 N – 2 ∑ s ≠ v ≠ r σ s r ( v ) σ s r x t s ∑ – x t v {\displaystyle PC^{t}(v)={\frac {1}{N-2}}\součet _{s\neq v\neq r}{\frac {\sigma _{sr}(v)}{\sigma _{sr}}}{\frac {{x^{t}}_{s}}{{součet {}-{x^{t}}_{v}}}}

where σ s r {\displaystyle \sigma _{sr}}

je celkový počet nejkratších cest z uzlu s {\displaystyle s}

do uzlu r {\displaystyle r}

a σ s r ( v ) {\displaystyle \sigma _{sr}(v)}

je počet těch cest, které procházejí v {\displaystyle v}

. Perkolační stav uzlu i {\displaystyle i}

v čase t {\displaystyle t}

je označen x t i {\displaystyle {x^{t}}_{i}}.

a dva zvláštní případy jsou, když x t i = 0 {\displaystyle {x^{t}}_{i}=0}

, což znamená neperkolovaný stav v čase t {\displaystyle t}

zatímco při x t i = 1 {\displaystyle {x^{t}}_{i}=1}

, což znamená plně perkolovaný stav v čase t {\displaystyle t}

. Hodnoty mezi nimi označují částečně perkolované stavy ( např. v síti obcí by to bylo procento nakažených v dané obci).

Připojené váhy k perkolačním cestám závisí na úrovních perkolace přiřazených zdrojovým uzlům na základě předpokladu, že čím vyšší je úroveň perkolace zdrojového uzlu, tím důležitější jsou cesty, které z tohoto uzlu vycházejí. Uzly, které leží na nejkratších cestách vycházejících z uzlů s vysokou úrovní perkolace, jsou proto pro perkolaci potenciálně důležitější. Definici PC lze také rozšířit tak, aby zahrnovala i váhy cílových uzlů. Výpočet perkolační centrality trvá O ( N M ) {\displaystyle O(NM)}.

čase s efektivní implementací převzatou z Brandesova rychlého algoritmu, a pokud je třeba při výpočtu zohlednit váhy cílových uzlů, je nejhorší čas O ( N 3 ) {\displaystyle O(N^{3})}