Modul 1 — Volba osy otáčení a popis směru otáčení

Přeskočit na: Modul 1 — Volba osy otáčení a popis směru otáčení – PER wiki Po absolvování tohoto modulu byste měli být schopni:

• Popsat rotaci tuhého tělesa kolem pevné osy.
• Definovat úhlovou rychlost ve smyslu rychlosti změny úhlové polohy.
• Určit směr otáčení tuhého tělesa a použít pravidlo pravé ruky.

Otáčení tuhého tělesa v podobě rotace může probíhat v kombinaci s translačním pohybem. Popis translačního a rotačního pohybu v kombinaci necháme na později. V tomto modulu se zaměříme na popis čistě translačního pohybu. Čistý rotační pohyb může být velmi komplikovaný a některé případy jsou mimo rámec každé úvodní hodiny fyziky.

Pro zjednodušení představ o úhlovém pohybu zavedeme následující omezení:

1. Tuhé těleso se otáčí kolem pevné osy otáčení.
2. Budeme uvažovat objekty, které jsou tenké, například disk na obrázku a) nebo tyč na obrázku b).
3. Otáčení probíhá v rovině, v níž je objekt obsažen, například v rovině xy na obrázku níže.
4. Osa otáčení je kolmá na rovinu, v níž je předmět obsažen, osa z na obrázcích níže.

Tuhé těleso omezené na otáčení kolem pevné osy

Nejjednodušším případem rotačního pohybu je tuhé těleso, jako je disk nebo tyč zobrazená výše, které se může otáčet kolem osy nebo závěsu, který je pevně umístěn v prostoru. Osa nebo závěs se nepřekládá, ale umožňuje otáčení. Tento případ jasně ilustruje pojem osy otáčení. Představte si bod, který leží ve středu disku nebo na konci tyče, bod Q, na obrázku níže. Při otáčení tělesa se tento bod vůbec nepohybuje. Jakýkoli jiný bod, například bod B, se bude při rotaci pohybovat. Představte si přímku procházející bodem Q a kolmou na rovinu, v níž se nachází disk nebo tyč, na obrázku rovinu xy. Tato přímka se při rotaci tělesa nepohybuje. Jakákoli jiná přímka procházející jakýmkoli jiným bodem tělesa, například modrá přímka procházející bodem B, se bude pohybovat. Tato jedinečná pevná přímka je osou otáčení.

Shrnem, když mluvíme o pevné ose otáčení, musíme si představit přímku kolmou k rovině, v níž se otáčí tuhé těleso. Obecně budeme uvažovat objekt obsažený a otáčející se v rovině xy, proto osa otáčení bude rovnoběžná s osou z. Průsečík této přímky s rovinou, bod Q na obrázku výše, bude v prostoru rovněž pevný.

Rotační pohyb tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy

Považujme disk rotující kolem pevné osy, která prochází jeho středem. Bod B na disku, vzdálený r od středu, se bude pohybovat po kruhové dráze o poloměru r, čárkovaném kruhu na obrázku a).

Úhlová poloha

Polohu bodu B lze popsat pomocí úhlu θ(t) měřeného od osy +x. Úhel θ se nazývá úhlová poloha bodu.

Konvence: Úhlová poloha je definována jako kladná, je-li měřena proti směru hodinových ručiček vzhledem k ose +x.

Úhlová rychlost

Rychlost bodu B i rychlost všech bodů uvnitř disku bude záviset na rychlosti změny jejich úhlových poloh. Jestliže se disk otočí o úhel dθ = 25o proti směru hodinových ručiček za časový interval dt =1 s, body B, C a všechny body uvnitř disku se za stejný časový interval otočí o stejnou hodnotu, obrázek c).

Úhlová rychlost je definována jako rychlost změny úhlové polohy a značí se písmenem ω:

Jednotky: = rad.s-1

Úhlové zrychlení

Úhlové zrychlení je rychlost změny úhlové rychlosti.

Jednotky: = rad.s-2

Směr

Pouhé určení osy a rychlosti otáčení nestačí k úplnému popisu rotačního pohybu. Je třeba probrat také směr. Po zvolení osy se možné směry otáčení zredukovaly na dvě možnosti – objekt se může otáčet proti směru hodinových ručiček nebo po směru hodinových ručiček při pohledu shora na rovinu (konvenčně z místa + z). Tyto dvě situace jsou popsány na obrázcích níže. Zde je však třeba být opatrný, protože smysl otáčení proti směru nebo po směru hodinových ručiček závisí na poloze pozorovatele. Disk, který se při pohledu shora otáčí proti směru hodinových ručiček, se při pohledu zdola bude otáčet ve směru hodinových ručiček.

Když se dopracujeme k matematickému popisu rotace, budeme rotaci popisovat vektorově. Ukazuje se (jak ještě uvidíme), že velmi užitečnou konvencí je přiřadit souřadným osám +z polohu podél osy otáčení a obě možnosti otáčení proti směru a po směru hodinových ručiček považovat za kladné a záporné otáčení kolem této osy. Vektor úhlové rychlosti odpovídající rotaci disku v situaci znázorněné na obrázcích výše tedy bude:

Pro otáčení proti směru hodinových ručiček:

θ roste s časem,ω = dθ/dt > 0 pak úhlová rychlost směřuje k ose +z.

Pro otáčení ve směru hodinových ručiček:

θ s časem klesá, ω = dθ/dt < 0 pak úhlová rychlost směřuje k ose -z:

Pravidlo pravé ruky

Tato konvence se nazývá pravidlo pravé ruky. Chcete-li ho použít, pokrčte prsty pravé ruky. Zarovnejte ruku s otáčejícím se objektem (v tomto případě diskem) tak, že sledováním prstů od kloubů ke konečkům prstů získáte stejnou rotaci, jakou zažívá objekt. Váš palec pak bude ukazovat „směr“ rotace.

Pravidlo pravé ruky a (x,y,z)

Při použití kartézské soustavy souřadnic k popisu pohybu v rovině je důležité použít pravotočivou soustavu souřadnic, aby bylo možné definovat různé rotační veličiny ve smyslu vektorového součinu. Ve výše uvedeném příkladu to znamená, že pokud položíte pravou ruku tak, aby se natažené prsty shodovaly s osou +x, a poté zkroutíte zápěstí tak, aby se prsty při sevření ruky v pěst pohybovaly směrem k ose y, výsledkem bude, že palec bude směřovat podél +z. To bude v souladu s obvyklou konvencí měřit úhel počínaje osou x a považovat úhlové posunutí v protisměru hodinových ručiček za kladné.

Kreslení rotační soustavy

Zorný úhel by měl být zarovnán s osou otáčení.

Při kreslení rotační soustavy je důležité vyrovnat úhel pohledu s osou otáčení. Jinými slovy, měli byste soustavu kreslit, jako byste se dívali přímo podél osy.

Zobrazování vektorů, které směřují přímo na vás nebo přímo od vás.

Protože rotující soustavy kreslíme, jako bychom se dívali podél osy, není možné nakreslit šipku představující osu. Lineární osa bude z našeho pohledu vypadat jako tečka. Z tohoto důvodu existuje konvence pro kreslení šipky, která ukazuje přímo na pozorovatele nebo přímo od něj. Tato konvence spočívá v tom, že šipka směřující přímo na pozorovatele se kreslí jako zakroužkovaná tečka. Šipka směřující přímo od pozorovatele se kreslí jako zakroužkované „x“.

Zobrazování vektorů zarovnaných s pozorovatelem: dveře shora a zdola.

Obrázek:

Dveře jsou zobrazeny podél zvolené osy otáčení z různých pohledů.