Operações Binárias
Estamos bastante familiarizados com operações aritméticas como adição, subtração, divisão e multiplicação. Além disso, conhecemos a função exponencial, função de log, etc. Hoje vamos aprender sobre as operações binárias. Como o nome sugere, binário significa dois. Isso significa que podemos usar duas funções simultaneamente usando a operação binária? Vamos descobrir.
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Operação binária
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Apenas quando dois números são adicionados ou subtraídos ou multiplicados ou são divididos. As operações binárias associam quaisquer dois elementos de um conjunto. Os resultados dos dois estão no mesmo conjunto. As operações binárias em um conjunto são cálculos que combinam dois elementos do conjunto (chamados operandos) para produzir outro elemento do mesmo conjunto.
As operações binárias * em um conjunto A não vazio são funções de A × A para A. A operação binária, *: A × A → A. É uma operação de dois elementos do conjunto cujos domínios e co-domínio estão no mesmo conjunto.
Adição, subtração, multiplicação, divisão, exponencial são algumas das operações binárias.
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Propriedades de operação binária
- Propriedade de encerramento: Uma operação * num conjunto não vazio A tem propriedade de fechamento, se a ∈ A, b ∈ A ⇒ a * b ∈ A.
- Adições são as operações binárias em cada um dos conjuntos de números naturais (N), Inteiro (Z), Números racionais (Q), Números reais(R), Número complexo(C).
As adições no conjunto de todos os números irracionais não são as operações binárias.
- Multiplicação é uma operação binária em cada um dos conjuntos de números naturais (N), números inteiros (Z), números racionais (Q), números reais(R), números complexos(C).
Multiplicação no conjunto de todos os números irracionais não é uma operação binária.
- Subtração é uma operação binária em cada um dos conjuntos de Inteiro (Z), Números Racionais (Q), Números Reais(R), Número Complexo(C).
Subtração não é uma operação binária no conjunto de Números Naturais (N).
- A divisão não é uma operação binária sobre o conjunto de números naturais (N), inteiro (Z), números racionais (Q), números reais(R), número complexo(C).
- Operação exponencial (x, y) → xy é uma operação binária sobre o conjunto de números naturais (N) e não sobre o conjunto de inteiros (Z).
Tipos de Operações Binárias
Comutativo
Uma operação binária * num conjunto A é comutativa se a * b = b * a, para todos (a, b) ∈ A (conjunto não-vazio). Que a adição seja a operação binária operacional para a = 8 e b = 9, a + b = 17 = b + a.
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- Representação de Funções
- Composição de Funções e Funções Inversíveis
- Álgebra de Funções Reais
- Produto Cartesiano de Conjuntos
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Associativas
A propriedade associativa das operações binárias detém se, para um conjunto A não vazio, podemos escrever (a * b) *c = a*(b * c). Suponha que N seja o conjunto de números naturais e a multiplicação seja a operação binária. Deixe a = 4, b = 5 c = 6. Podemos escrever (a × b) × c = 120 = a × (b × c).
Distributivo
Let * e o ser duas operações binárias definidas em um conjunto não vazio A. As operações binárias são distributivas se a*(b o c) = (a * b) o (a * c) ou (b o c)*a = (b * a) o (c * a). Considere * para ser multiplicado e o para ser subtraído. E a = 2, b = 5, c = 4. Então, a*(b o c) = a × (b – c) = 2 × (5 – 4) = 2. E (a * b) o (a * c) = (a × b) – (a × c) = (2 × 5) – (2 × 4) = 10 – 6 = 2.
Identidade
Se A for o conjunto não vazio e * for a operação binária em A. Um elemento e é o elemento de identidade de um ∈ A, se a * e = a = e * a. Se a operação binária é adição(+), e = 0 e para * é multiplicação(×), e = 1.
Inverse
Se uma operação binária * num conjunto A que satisfaz a * b = b * a = e, para todos a, b ∈ A. a-1 é invertível se para a * b = b * a= e, a-1 = b. 1 é invertível quando * é multiplicável.
Exemplo Resolvido para Você
Questão 1: Mostre que a divisão não é uma operação binária em N nem subtração em N.
Resposta : Deixe a, b ∈ N.
Casso 1: Operação binária * = divisão(÷)
-: N × N→N dado por (a, b) → (a/b) ∉ N (como 5/3 ∉ N)
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Fase 2: Operação binária * = Subtracção(-)
-: N × N→N dado por (a, b)→ a – b ∉ N (como 3 – 2 = 1 ∈ N mas 2-3 = -1 ∉ N).
Questão 2: Todas as operações binárias estão fechadas?
Resposta: Muitos conjuntos que você pode estar familiarizado estão fechados sob certos operadores binários, enquanto muitos não estão. Assim, o conjunto de inteiros ímpares permanece fechado sob multiplicação. Por exemplo, o conjunto de inteiros ímpares não é fechado sob adição, pois a soma de dois números ímpares nem sempre é ímpar, na verdade, nunca é odd.
Questão 3: A raiz quadrada é uma operação binária?
Resposta: Uma operação não binária refere-se a um processo matemático que requer apenas um número para alcançar algo. Adição, subtração, multiplicação e divisão são exemplos de operações binárias. Da mesma forma, exemplos de operações não binárias consistem em raízes quadradas, fatoriais, bem como valores absolutos.
Questão 4: Qual é o elemento de identidade numa operação binária?
Resposta: Um elemento de identidade ou elemento neutro numa operação binária refere-se a um tipo especial de elemento de um conjunto em relação a uma operação binária nesse conjunto, que deixa um elemento do conjunto não afetado quando combinado com ele. Usamos este conceito em estruturas algébricas como grupos e anéis.
Question 5: O que é o transbordo binário?
Answer: O overflow ocorre quando a magnitude de um número ultrapassa o intervalo permitido pelo tamanho do campo de bits. A soma de dois números com assinatura idêntica pode muito bem ultrapassar o intervalo do campo de bits desses dois números, e assim o overflow pode ser uma possibilidade neste caso.