Blinde wiskundigen? Jazeker!

Blinde wiskundigen? Zeker!

Braille Monitor
juli 2012

(terug) (inhoud) (volgende)

Blinde wiskundigen? Zeker!

door Alfred P. Maneki
Van de Redactie: Terwijl we deelname aan wetenschap, technologie, techniek en wiskunde aanmoedigen, vertellen veel blinde studenten ons verhalen over ontmoediging op deze gebieden. Ze willen weten hoe ze kunnen doen wat hen vaak is verteld dat niet kan. Daarom wijdt de braillemonitor enige ruimte aan de how-to’s om met succes een opleiding te volgen en aan de slag te gaan in enkele van de boeiendste sectoren die de huidige arbeidsmarkt te bieden heeft. Hier is wat een federatieleider en succesvolle blinde wiskundige te zeggen heeft over zijn opleiding en werk:
Inleiding
Als ik het begin van mijn loopbaan in de wiskunde dateer van september 1964, toen ik aan mijn afstudeerstudie begon aan het Illinois Institute of Technology in Chicago, dan kan ik zeggen dat ik al achtenveertig jaar in de wiskundewereld zit. In die jaren heb ik wiskunde gestudeerd, wiskunde onderwezen aan studenten en als wiskundig wetenschapper gewerkt voor de Amerikaanse overheid. Sinds mijn pensionering bij de federale overheid in 2007 heb ik mijn tijd gewijd aan het geven van bijlessen aan en het adviseren van blinde studenten, en aan het ontwikkelen van hulpmiddelen om blinden te helpen beter te tekenen met behulp van tasters. Na bijna een halve eeuw in de wiskunde te hebben gewerkt, heb ik niet alleen een dieper inzicht in mijzelf als blinde, maar heb ik ook de veranderingen gezien die in dit beroep hebben plaatsgevonden. Ik geloof dat ik in een unieke positie ben om anderen te helpen dit prachtige gebied van studie en onderzoek te betreden en er succesvol in te worden.
Twee jaar geleden begon ik aan mijn uitgebreide wiskunde-enquête voor de Nationale Federatie van Blinden. De resultaten waren zeer onthullend, zoals ik elders in de NFB-literatuur heb gerapporteerd. In mijn eerste verslag vroeg ik om aanvullende reacties op mijn enquête, vooral van mensen die moeilijkheden hebben ondervonden bij hun wiskundestudie. Om bij mijn enquête te komen en mijn eerste verslag te lezen, ga naar <http://www.nfb.org/Images/nfb/Publications/bm/bm11/bm1109/bm110909.htm&…;.
Toen de redacteur van de Braille Monitor mij vroeg dit artikel te schrijven, kwam de gedachte bij mij op dat ik mij schuldig had gemaakt aan het niet voldoen aan mijn eigen verzoek om enquêtereacties te vragen. Daarom schrijf ik dit artikel deels als reactie op mijn eigen enquête. Dit kan de wenkbrauwen doen fronsen van professionele enquêteurs, die er bezwaar tegen hebben mijn steekproefgegevens te besmetten met mijn eigen bevooroordeelde meningen. Hoe het ook zij, ik vertrouw erop dat wat ik in dit artikel te zeggen heb voor sommige lezers van waarde zal zijn.
Mijn onderwijservaring
Ik heb elders al gezegd, en ik zou het nog eens moeten zeggen, dat mijn wiskundige achtergrond vóór mijn inschrijving aan de University of Hawaii (UH) voor mijn doctoraalstudie minimaal was. Mijn leraren op de middelbare school deden er alles aan om mij te ontmoedigen wiskunde te studeren, omdat zij dachten dat blinden het nooit zouden kunnen maken op dit gebied. Onnodig te zeggen dat ik, toen ik aan de UH begon, een flinke inhaalslag te maken had. Maar met de hulp van bemoedigende docenten en medestudenten kon ik me redden en maakte ik de verloren tijd goed door intensieve zomercursussen te volgen. Tekstboeken werden me voorgelezen door medestudenten die dit zagen als een kans voor extra studietijd om hun begrip van de materie te verbeteren. Van hun voordracht maakte ik braille-notities om zelf na te lezen. Ik dicteerde geduldig mijn huiswerkopdrachten aan diezelfde leerlingen, die mijn dictaat overnamen, inclusief al mijn fouten, die ik hen vroeg niet te corrigeren. Deze regelingen werkten vrij goed, vooral wanneer ik hulp kreeg van studenten die niet in mijn klassen zaten. Mijn docenten namen de examens mondeling af, of ik dicteerde mijn antwoorden aan andere lezers. In mijn tijd bestonden er geen brailleboeken voor wiskunde.
In mijn doctoraalopleiding had ik het geluk dezelfde steun te krijgen als ik als student had gehad, behalve dat mijn medestudenten nu sommige van mijn tekstboeken opnamen. Ik begon ook geluidsbanden te lenen van Recordings for the Blind, tegenwoordig bekend als Learning Ally. Ik ging door met het maken van aantekeningen in braille. Braille tekstboeken bleven niet bestaan. Toen ik verder ging met mijn doctorale studie, was ik meer afhankelijk van studentenlezers om me te helpen met bibliotheekonderzoek en het lezen van tijdschriftartikelen. Gelukkig ondersteunde de beroepsrevalidatie op Hawaii mij met fondsen voor betaalde lezers. De fondsen van de revalidatie betaalden ook voor het professioneel uittypen en voorbereiden van het manuscript van mijn proefschrift.
Mijn ervaringen met het bestuderen van wiskunde op bachelor- en graduaatniveau komen sterk overeen met de opmerkingen die anderen in mijn enquête en elders hebben gemaakt. Ik leerde snel de dubbelzinnigheden kennen die inherent zijn aan gesproken wiskunde. Natuurlijk zijn er voor de persoon die leest nooit dubbelzinnigheden, omdat de lezer alleen maar voordraagt uit geschreven woorden en symbolen. Voor de voorlezer is de omzetting van dat materiaal in gesproken taal altijd duidelijk. Als ik een live voorlezer zou gebruiken, zou ik de voorlezing altijd kunnen onderbreken om om een verduidelijking te vragen. Ik kon erop aandringen dat materiaal op een specifieke manier werd voorgelezen. Ik leerde ook dat verschillende lezers een verschillende manier hadden om gelijkaardig materiaal voor te lezen. Zolang ze consequent bleven, kon ik deze bijzonderheden oppikken en verliep het lezen vlot.
In het geval van opgenomen materiaal werden de onduidelijkheden een raadspelletje. Voor breuken, waar precies was de breuk tussen teller en noemer? Voor exponenten, welke specifieke hoeveelheid omvatte de exponent, of, als de exponent een lange uitdrukking was, waar eindigde die? En, wat deed men met exponenten van exponenten? Functies met meer dan één variabele leverden ook hun eigen moeilijkheden op, vooral wanneer de variabelen zelf uitdrukkingen van andere variabelen waren. Een leerzame taak bij het luisteren naar opgenomen materiaal is het ontwikkelen van het vermogen om de mogelijke interpretaties van die lezing te overwegen en die te elimineren die geen zin hebben in de context van de delen die wel zin hebben. Dit soort geforceerd luisteren was een uitstekende training voor mij, hoewel het tijdrovend en vaak frustrerend was.
Terwijl ik naar verschillende wiskundige materialen luisterde, werd het duidelijk dat ik voor mezelf braille-notities zou moeten maken, omdat de meeste berekeningen en bewijzen veel te ingewikkeld en complex waren om uit het hoofd te leren. Aanvankelijk kwam ik in de verleiding om alles woordelijk op te schrijven. Het werd al snel duidelijk dat dit te vervelend was. De truc was, zo ontdekte ik al snel, om de belangrijkste elementen van een berekening of bewijs te distilleren en alleen die over te nemen. Dit dwong mij om de gaten in te vullen als ik mijn aantekeningen later bestudeerde, wat weer extra mentale discipline opleverde om de materie onder de knie te krijgen. Tijdens mijn studie aan de UH kocht ik een gids van één deel van de Nemeth Braille Code. Ik realiseerde me dat de Nemeth-code erg omslachtig is omdat alle mogelijke dubbelzinnigheden moeten worden opgelost. Om tijd te besparen, bedacht ik mijn eigen stenografische Nemeth-achtige notatie. Ik vertrouwde op de context van het onderwerp om de betekenis van mijn Nemeth-steno te begrijpen. Ik gooide al mijn notities uit die eerste jaren weg tijdens mijn vele verhuizingen naar verschillende locaties. Ik weet zeker dat als ik die aantekeningen nu nog had, ik ze niet zelf zou kunnen lezen; mijn sneltoetsen zijn allang vergeten.
Voor het schrijven van wiskundige bewijzen en het uitvoeren van berekeningen is er geen vervanging voor braille op papier op een brailleschrijver met handbediening. Men heeft dan de mogelijkheid om bewerkingen in een niet-lineaire volgorde uit te voeren, d.w.z. door een regel braille in te voegen die gebaseerd is op berekeningen in de lagere regels. Dit is precies wat er gebeurt bij een lange deling, die vandaag de dag nog steeds wordt onderwezen. Hoewel niemand in zijn levensonderhoud hoeft te voorzien door te delen, is het toch een vaardigheid die het waard is om te hebben.
Wat als een berekening of bewijs te groot is voor een standaard vel braillepapier? Toen ik tijdens mijn studie dergelijke berekeningen en bewijzen moest maken, vertrouwde ik op mijn lezers om als mijn potlood te dienen. Ik liet mijn lezers de uitdrukkingen opschrijven die ik moest gebruiken. Dan vroeg ik hen om delen van deze uitdrukkingen in de juiste volgorde aan mij voor te lezen, zodat ik de berekeningen mentaal kon uitvoeren en aan hen kon dicteren. Hoewel deze grote berekeningen nu door digitale apparaten worden gedaan, is het nog steeds nuttig om een deel hiervan met de hand te doen, al was het maar om te controleren of je de juiste instructies aan je computer hebt gegeven.
Mijn werkervaring
Midden in mijn doctoraalstudie vond ik een baan als docent aan de wiskunde-afdeling van de North Dakota State University (NDSU) in Fargo. Ik had het geluk dat ik op de arbeidsmarkt kwam toen de hogescholen en universiteiten van ons land wanhopig op zoek waren naar mensen voor hun wiskundeafdelingen. NDSU deed me een aanbod dat ik niet kon weigeren. Ik kreeg alle hulp die ik nodig had bij het lesgeven, van het lezen van cursusboeken, tot het voorbereiden van lezingen op transparanten, tot het nakijken van tests, tot het nakijken van papers, en een beetje tijd om onderzoeksmateriaal te lezen. De vroege jaren zeventig waren glorieuze dagen voor academische wiskundigen, omdat de staatswetgevers veel genereuzer waren voor staatsinstellingen voor hoger onderwijs. Hoe goed het leven in Noord-Dakota ook was, ik wist dat me andere uitdagingen en grotere kansen te wachten stonden. In augustus 1974 pakte ik mijn spullen en verhuisde naar de omgeving van Fort Meade, Maryland, waar ik een baan had aanvaard als onderzoekswiskundige bij het Ministerie van Defensie. In sommige opzichten was de beslissing om te verhuizen een gemakkelijke. Het salaris was hoger en het werk zou zeer uitdagend zijn. Ik heb hier de rest van mijn carrière gewerkt aan wiskundige problemen op het gebied van cryptologie, data-analyse en, later, netwerkbeveiliging. Het onderzoek dat ik deed was niet van de academische soort die ik eerder had gedaan. Het ging in de eerste plaats om het ontwerpen van efficiënte methoden voor het testen van veronderstellingen over digitale gegevens die ons werden aangereikt. Wij wisten heel weinig over de onderliggende structuren die de statistische eigenaardigheden veroorzaakten in wat wij observeerden. Terugkijkend op mijn ervaringen hier, was mijn wiskundige opleiding uiterst waardevol voor dit werk, ook al paste ik de wiskundige stof die ik had geleerd niet direct toe.
Een paar alinea’s eerder noemde ik de noodzaak om dubbelzinnigheden op te lossen die inherent zijn aan gesproken opgenomen wiskunde en hoe ik in staat was om deze dubbelzinnigheden op te lossen door oordeelkundig te raden. Ik ben er nu van overtuigd dat deze mentale discipline mij goed van pas kwam bij het werk dat ik in Fort Meade deed. Toen ik eenmaal de probleemoplossingstechnieken had uitgewerkt die ik nodig had, bestond de rest van mijn werk uit het programmeren van mijn ideeën op een mainframe computer. Pas veel later in mijn loopbaan begonnen we personal computers in een netwerk te gebruiken. We hadden synthetische spraak en brailleprinters. Dit vergemakkelijkte mijn programmeerwerk enorm. Wanneer ik papers voor publicatie moest schrijven, boden de kantoren waar ik werkte altijd de nodige ondersteuning.
In het midden van de jaren ’90 kwam onderzoek naar cryptologie en netwerkbeveiliging in zwang, zowel in de industrie als in de academische wereld. Vanwege de mogelijke implicaties voor de federale overheid werden wij aangemoedigd tot meer interactie met deze externe specialisten. Ook beperkte onderzoekssamenwerking werd mogelijk. Als gevolg van deze activiteiten heb ik deelgenomen aan en papers gepresenteerd op verschillende conferenties tussen overheid, bedrijfsleven en de academische wereld.
Mijn drieëndertig dienstjaren bij de federale overheid waren zeer bevredigend. Niet alleen was ik betrokken bij interessant onderzoek, maar ik werkte ook met enkele van de meest gerespecteerde personen op dit gebied. Tegen het einde van mijn loopbaan had ik de gelegenheid om mentor te zijn van enkele jongere wiskundigen die dit onderzoeksgebied betraden.
Mijn advies
Terugkijkend op mijn wiskundige ervaringen, zou ik zeggen dat de belangrijkste drijfveer voor mijn voortdurende inspanningen een verterende passie voor het onderwerp was, en nog steeds is. Toen ik opgroeide, werd ik, door alle ontmoedigende opmerkingen over wetenschappelijke beroepen, gedwongen andere studierichtingen te overwegen. Ik dacht aan rechten, vreemde talen, economie of politieke wetenschappen. Hoezeer ik ook mijn best deed, deze vakken konden nooit dezelfde vonk van enthousiasme opwekken als wiskunde voor mij deed. Ik geloof nu dat mijn grootste twijfel voortkwam uit het feit dat ik niet serieus werd uitgedaagd door mijn leraren totdat ik aan de universiteit begon te studeren. Mijn eerste advies aan iedereen die een carrière in de wiskunde overweegt, is om er zeker van te zijn dat je erdoor verteerd wordt door een overweldigende passie.
Wat betreft de vormingsjaren van mijn wiskundige opleiding, het waren de slechtste en de beste tijden. Het waren de slechtste tijden omdat er vrijwel nergens blinde wiskundigen waren. Brailleboeken in wiskunde bestonden niet; de technologie om te helpen bij wiskundige berekeningen en het schrijven van bewijzen lag nog ver in de toekomst; en de vooruitzichten op werk voor blinde wiskundigen waren somber. Maar het waren de beste tijden, omdat de algemene werkgelegenheid in de wiskundige wetenschappen uitstekend was; er was minder behoefte aan vroege specialisatie dan vandaag de dag; en beroepsrevalidatie-instellingen waren beter in staat om afgestudeerde studies voor hun blinde cliënten te financieren. Wat mij nu zo verbaast, is dat de revalidatie-instelling in Hawaï best bereid was mijn doctorale studies in Chicago te financieren, zodra ik mijn academisch dossier aan de UH had opgesteld. De vraag wat ik professioneel met mijn graad in wiskunde zou doen als ik die eenmaal had behaald, leek niet het belangrijkste in de gedachten van mijn revalidatieadviseur te zijn. Ik denk dat, als ik eenmaal mijn diploma had behaald, mijn zaak met succes zou zijn gesloten, baan of geen baan. Terugkijkend heb ik geen klachten. Ik had het geluk bij de overheid te zijn gekomen in de tijd dat er van sollicitanten geen achtergrond in cryptologie werd verwacht. Ieder van ons die in dienst trad bij de overheid in Fort Meade in het midden van de jaren 70 kreeg de nodige opleiding voor de taken die ons werden toegewezen. Vandaag raad ik sterk aan dat wie werk in cryptologie en netwerkbeveiliging overweegt, een sterke achtergrond in deze onderwerpen heeft tijdens zijn bachelor- of doctoraatsstudies.
Een gelijkaardig advies geldt voor wiskundigen die in andere domeinen wensen te werken. In de financiële wiskunde, bijvoorbeeld, moet men een achtergrond hebben in onderwerpen als risicobeheer, onvoorziene analyse, beursmodellen of algemene financiële planning.
Veel andere vakgebieden (biologie, scheikunde, natuurkunde, meteorologie, informatica en elektrotechniek) vereisen tegenwoordig speciale wiskundige kennis in hun bachelorcurricula. Het is niet langer voldoende om alleen een sterke achtergrond in wiskunde te hebben om op deze terreinen te worden toegelaten. Wat betreft lesgeven en onderzoek doen aan een universiteit, vergeet niet dat deze posities zeer concurrerend zijn vanwege de beperkte budgetten.
Heden ten dage, in een extreem krappe arbeidsmarkt, is het van cruciaal belang voor blinde studenten om een sterke academische achtergrond, uitstekende cijfers en gerelateerde werkervaring te hebben als ze de professionele arbeidsmarkt betreden. Deze must-haves zijn niet meer zo intimiderend als in mijn studententijd. Leerboeken in correct opgemaakt braille, inclusief Nemeth-code en reliëfafbeeldingen, zijn tegenwoordig iets beter verkrijgbaar, hoewel geautomatiseerde vertaling van gedrukte tekst naar braille nog steeds niet binnen handbereik ligt. Hoewel nog niet helemaal geperfectioneerd, zijn er een paar enigszins schermlezer-vriendelijke computerprogramma’s om te helpen met complexe wiskundige berekeningen. Wij beschikken over hulpmiddelen zoals LaTeX om ons te helpen bij de voorbereiding van documenten. Het meest opwindende van alles is dat we nu kansen op werk beginnen te zien voor blinde bachelor- en masterstudenten in wetenschap en techniek.
De blinde studenten van vandaag genieten van de luxe om op de schouders te staan van de blinde wetenschappers die hen voorgingen. Zij zullen nu al blinde mensen aantreffen met betaald werk in de wiskunde, biologie, scheikunde, natuurkunde en techniek. Als je erover denkt om in een van deze beroepen te gaan werken, doe dan een beroep op degenen die er al zijn. De beste manier om deze professionals te bereiken is via de Science and Engineering Division van de NFB. U kunt naar de website van de NFB gaan <www.nfb.org> om alle nodige contactinformatie te verkrijgen onder Fast Facts.
Als ik terugkijk op mijn lange loopbaan in de wiskunde, ben ik blij met de gedachte dat degenen die vandaag beginnen, in hun achtenveertig jaar veel verder zullen komen dan ik in de mijne. Dit is zoals het zou moeten zijn. Natuurlijk is de technologie verantwoordelijk voor een deel hiervan. Maar het meest essentiële ingrediënt voor deze toekomstige vooruitgang is te vinden in de levendige manier waarop wij als blinde mensen zijn samengekomen als een georganiseerde gemeenschap in de Nationale Federatie van Blinden. Door samen te werken, zullen we voor ons allen een niveau van succes bereiken dat niemand van ons alleen zou kunnen bereiken.
Ik heb dit artikel niet geschreven met de bedoeling u te misleiden of bang te maken. Voor degenen onder u die het aannemen, is de weg die voor ons ligt moeilijk. Maar ik hoop dat degenen onder u met de juiste passie en bekwaamheid zullen worden uitgedaagd om hem te nemen. U zult goed beloond worden voor uw successen. Als ik u op enigerlei wijze kan helpen, neem dan contact met mij op per telefoon op (443) 745-9274 of stuur een e-mail naar <>.

(terug) (inhoud) (volgende)