Grupo abeliano

BY admin

| noviembre 24, 2021

Este artículo trata de una definición básica en teoría de grupos. El texto del artículo puede, sin embargo, contener material avanzado.
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Este artículo define una propiedad de grupo que es fundamental (es decir, importante) entre las propiedades de grupo existentes
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Historia

Origen del término

El término grupo abeliano proviene de Niels Henrick Abel, un matemático que trabajó con grupos incluso antes de que se estableciera la teoría formal, para demostrar la irresolubilidad de la quina.

La palabra abeliano suele comenzar con una a minúscula.

wikinote: Algunos contenidos antiguos de la wiki utilizan la A mayúscula para abeliano. Estamos intentando actualizar este contenido.

Definición

Un grupo abeliano es un grupo en el que dos elementos cualesquiera conmutan. En símbolos, un grupo $G$ se denomina abeliano si para cualquier elemento $x$ y $y$ en $G$ , $xy = yx$ (aquí $xy$ denota el producto de $x$ y $y$ en $G$ ). Nótese que se permite que $x,y$ sean iguales, aunque los elementos iguales se conmutan de todos modos, por lo que podemos restringir la atención si lo deseamos a los elementos desiguales.

Definición completa

Un grupo abeliano es un conjunto $G$ equipado con una operación binaria (infija) $+$ (llamada operación de adición o de grupo), un elemento de identidad $0$ y una operación unaria (prefija) $-$ , llamada mapa inverso o mapa de negación, que satisface lo siguiente:

Para cualquier $a,b,c \Nen G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Esta propiedad se denomina asociatividad.
Para cualquier $a \Nen G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ desempeña así el papel de elemento aditivo de identidad o elemento neutro.
Para cualquier $a \Nen G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Así, $a$ es un elemento inverso a $a$ con respecto a $+$ .
Para cualquier $a,b \Nen G$ , $a + b = b + a$ . Esta propiedad se denomina conmutatividad.

Formulaciones equivalentes

Un grupo $G$ se denomina abeliano si satisface las siguientes condiciones equivalentes:

Su centro $Z(G)$ es el grupo entero.
Su subgrupo derivado $G' =$ es trivial.
(Elegir un conjunto generador $S$ para $G$ ). Para cualesquiera elementos $a,b \Nen S$ , $ab = ba$ .
El subgrupo diagonal ${ (g,g) \Nmedio g \Nen G \}$ es un subgrupo normal dentro de $G \Ntiempo G$ .

Notación

Cuando $G$ es un grupo abeliano, solemos utilizar la notación y la terminología aditiva. Así, la multiplicación del grupo se denomina adición y el producto de dos elementos se denomina suma.

El operador infijo $+$ se utiliza para la multiplicación del grupo, por lo que la suma de dos elementos $a$ y $b$ se denota por $a + b$ . La multiplicación del grupo se denomina adición y el producto de dos elementos se denomina suma.
El elemento identidad se denota típicamente como $0$ y se denomina cero
El inverso de un elemento se denomina su negativo o inverso aditivo. La inversa de $a$ se denota $-a$
$a + a + \ldots + a$ hecho $n$ veces se denota $na$ , (donde $n \ en \mathbb{N}$ ) mientras $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ hecho $n$ veces se denota $(-n)a$ .

Esta convención se sigue típicamente en una situación en la que estamos tratando con el grupo abeliano $G$ de forma aislada, en lugar de como un subgrupo de un grupo posiblemente no abeliano. Si estamos trabajando con subgrupos en un grupo no abeliano, típicamente usamos la notación multiplicativa incluso si el subgrupo resulta ser abeliano.

Ejemplos

VISTA: grupos que satisfacen esta propiedad | grupos que no satisfacen esta propiedad
VISTA: grupos que satisfacen esta propiedad | grupos que insatisfacen esta propiedad

Algunos ejemplos infinitos

El grupo aditivo de los números enteros $\mathbb{Z}$ , el grupo aditivo de los números racionales $\mathbb{Q}$ , el grupo aditivo de los números reales $\mathbb{R}$ , el grupo multiplicativo de los racionales no nulos $\mathbb{Q}^*$ , y el grupo multiplicativo de los números reales no nulos $\mathbb{R}^*$ son algunos ejemplos de grupos abelianos.

(Más generalmente, para cualquier campo, el grupo aditivo, y el grupo multiplicativo de elementos no nulos, son grupos abelianos).

Ejemplos finitos

Los grupos cíclicos son buenos ejemplos de grupos abelianos, donde el grupo cíclico de orden $n$ es el grupo de enteros módulo $n$ .

Además, cualquier producto directo de grupos cíclicos es también un grupo abeliano. Además, todo grupo abeliano finitamente generado se obtiene de esta manera. Este es el famoso teorema de la estructura para los grupos abelianos finitamente generados.

El teorema de la estructura se puede utilizar para generar un listado completo de grupos abelianos finitos, como se describe aquí: clasificación de grupos abelianos finitos.

No ejemplos

No todos los grupos son abelianos. El grupo no abeliano más pequeño es el grupo simétrico sobre tres letras: el grupo de todas las permutaciones sobre tres letras, bajo composición. Su condición de no abeliano depende del hecho de que el orden en que se realizan las permutaciones importa.

Hechos

Ocurrencia como subgrupos

Todo grupo cíclico es abeliano. Como cada grupo está generado por sus subgrupos cíclicos, cada grupo está generado por una familia de subgrupos abelianos. Una pregunta más complicada es: ¿existen subgrupos abelianos normales? Un buen candidato para un subgrupo normal abeliano es el centro, que es la colección de elementos del grupo que conmutan con cada elemento del grupo.

Ocurrencia como cocientes

El cociente abeliano máximo de cualquier grupo se denomina su abelianización, y éste es el cociente por el subgrupo derivado. Un subgrupo es un subgrupo abeliano-cotiente (es decir, normal con grupo abeliano-cotiente) si y sólo si el subgrupo contiene el subgrupo derivado.

Metapropiedades

Nombre de la metapropiedad	¿Satisfecha?	Prueba	Afirmación con símbolos
Propiedad de grupo varietal	Sí		La colección de grupos abelianos forma una subvariedad de la variedad de grupos. En particular, es cerrada bajo la toma de subgrupos, cocientes y productos directos arbitrarios
propiedad de grupo cerrado por subgrupos	Sí	la abelianidad es cerrada por subgrupos	Si $G$ es un grupo abeliano y $H$ es un subgrupo de $G$ , entonces $H$ es abeliano.
propiedad de grupo cociente-cerrado	Sí	la abelianidad es cociente-cerrado	Si $G$ es un grupo abeliano y $H$ es un subgrupo normal de $G$ , el grupo cociente $G/H$ es abeliano.
propiedad de grupo cerrado por producto directo	Sí	la abelianidad es cerrada por producto directo	Supongamos que $G_i, i \in I$ , son grupos abelianos. Entonces, el producto directo externo $\d_{i \in I} G_i$ es también abeliano.

Relación con otras propiedades

Propiedades más fuertes

Propiedad	Significado	Prueba de la implicación	Prueba de la rigurosidad (fallo de la implicación inversa)	Nociones intermedias
Grupo cíclico	generado por un elemento	cíclico implica abeliano	abeliano no implica cíclico (ver también lista de ejemplos)	Grupo epabeliano, Grupo cíclico local, Grupo cíclico residual\|Lista completa, Más información
grupo homocíclico	producto directo de grupos cíclicos isomorfos		(ver también lista de ejemplos)	\|Lista completa, MORE INFO
grupo cíclico residual	todo elemento no identitario está fuera de un subgrupo normal con un grupo cociente cíclico		(ver también lista de ejemplos)	\|FULL LIST, MAS INFO
grupo localmente cíclico	todo subgrupo finitamente generado es cíclico		(ver también lista de ejemplos)	grupo epabeliano\|LISTA COMPLETA, MÁS INFO
grupo epabeliano	grupo abeliano cuyo cuadrado exterior es el grupo trivial		(ver también lista de ejemplos)	\|LISTA COMPLETA, MÁS INFO
grupo abeliano finito	abeliano y un grupo finito		(ver también lista de ejemplos)	\|LISTA COMPLETA, MAS INFO
grupo abeliano finitamente generado	abeliano y un grupo finitamente generado		(ver también lista de ejemplos)	Grupo cíclico residual\|LISTA COMPLETA, MÁS INFORMACIÓN

Propiedades más débiles

Propiedad	Significado	Prueba de implicación	Prueba de rigurosidad (fallo de implicación inversa)	Nociones intermedias
grupo nilpotente	serie central inferior alcanza identidad, serie central superior alcanza grupo entero	abeliano implica nilpotente	nilpotente no implica abeliano (ver también lista de ejemplos)	Grupo en el que la clase es igual a la máxima profundidad subnormal, Grupo de nilpotencia clase tres, Grupo de nilpotencia clase dos, Grupo de nilpotencia clase dos cuyo mapa conmutador es el doble de un bihomorfismo alternante que da la clase dos, Grupo UL-equivalente\|Lista completa, MORE INFO
grupo soluble	serie derivada alcanza identidad, tiene serie normal con grupos factoriales abelianos	abeliano implica soluble	soluble no implica abeliano (ver también lista de ejemplos)	Grupo metabeliano, grupo metanilpotente, grupo nilpotente\|LISTA COMPLETA, MÁS INFO
grupo metabeliano	tiene subgrupo normal abeliano con grupo cociente abeliano		(ver también lista de ejemplos)	Grupo de clase de nilpotencia dos\|LISTA COMPLETA, MAS INFO
grupo virtualmente abeliano	tiene subgrupo abeliano de índice finito		(ver también lista de ejemplos)	Grupo FZ\|LISTA COMPLETA, MORE INFO
FZ-group	center has finite index		(see also list of examples)	\|FULL LIST, MORE INFO
FC-group	cada clase de conjugación es finita		(ver también lista de ejemplos)	FZ-group, Grupo con subgrupo derivado finito\|Lista completa, más información

Propiedades incomparables

Grupo supersolvente es un grupo que tiene una serie normal donde todos los grupos cocientes sucesivos son grupos cíclicos. Un grupo abeliano es supersolvente si y sólo si está finitamente generado.
Grupo policíclico es un grupo que tiene una serie subnormal donde todos los grupos cocientes sucesivos son grupos cíclicos. Un grupo abeliano es policíclico si y sólo si es finitamente generado.

Formalismos

En términos del operador diagonal-en-cuadrado

Esta propiedad se obtiene aplicando el operador diagonal-en-cuadrado a la propiedad: subgrupo normal
Ver otras propiedades obtenidas aplicando el operador diagonal-en-cuadrado

Un grupo $G$ es un grupo abeliano si y sólo si, en el producto directo externo $G \times G$ , el subgrupo diagonal ${ (g,g) \mid g \in G \}$ es un subgrupo normal.

Pruebas

El problema de las pruebas

Más información: Problema de comprobación de abelianidad

El problema de comprobación de abelianidad es el problema de comprobar si un grupo (descrito mediante alguna regla de descripción de grupos, como una codificación de un grupo o una multicodificación de un grupo) es abeliano.

Los algoritmos para el problema de comprobación de abelianidad van desde el algoritmo de grupo de caja negra de fuerza bruta para la comprobación de abelianidad (que implica la comprobación de cada par de elementos si se conmutan, y es cuadrático en el orden del grupo) hasta el algoritmo de grupo de caja negra basado en conjuntos generadores para la comprobación de abelianidad (que implica la comprobación sólo en un conjunto generador, y es cuadrático en el tamaño del conjunto generador).

Comando GAP

Esta propiedad de grupo se puede comprobar utilizando la funcionalidad incorporada de Grupos, Algoritmos, Programación (GAP).
El comando GAP para esta propiedad de grupo es:IsAbelian
La clase de todos los grupos con esta propiedad se puede consultar con el comando incorporado: AbelianGroups
Ver propiedades de grupo comprobables por GAP

Para comprobar si un grupo es abeliano, la sintaxis de GAP es:

IsAbelian (group)

donde group define el grupo o da el nombre a un grupo previamente definido.

Estudio de esta noción

Clasificación de materias matemáticas

En la clasificación de materias matemáticas, el estudio de esta noción entra en la clase: 20K

Referencias de libros de texto

Libro	Número de página	Capítulo y sección	Información contextual	Ver
Álgebra abstracta de David S. Dummit y Richard M. Foote, ISBN 0471433349 de 10 dígitos, ISBN 978-0471433347 de 13 dígitosMás información	17	Definición formal (definición como punto (2) en la definición general de grupo)
Grupos y representaciones por Jonathan Lazare Alperin y Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Más información	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definición introducida en el párrafo	Google Books
Álgebra de Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-digit ISBN 978-0130047632Más información	42		definición introducida en el párrafo (inmediatamente después de la definición de grupo)
Topics in Algebra por I. N. HersteinMás información	28		Definición formal
A Course in the Theory of Groups by Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Más información	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	definición formal	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Más información	1	1.1 (Teoría elemental de grupos)	definición introducida en el párrafo	Google Books