Abeliaanse groep

BY admin

| november 24, 2021

Dit artikel gaat over een basisdefinitie in de groepentheorie. De tekst van het artikel kan echter geavanceerd materiaal bevatten.
VIEW: Definities die hierop gebouwd zijn | Feiten hierover: (feiten die nauw verband houden met Abeliaanse groep, alle feiten die verband houden met Abeliaanse groep) | Overzichtsartikelen over dit | Overzichtsartikelen over definities die hierop voortbouwen
VIEW RELATED: Analogen van deze | Variaties van deze | Tegenstellingen van deze |

Dit artikel definieert een groepseigenschap die centraal staat (d.w.z., belangrijk) is onder de bestaande groepseigenschappen
Bekijk een lijst van spilgroepeigenschappen |Bekijk een volledige lijst van groepseigenschappen

Geschiedenis

Oorsprong van de term

De term abeliaanse groep is afkomstig van Niels Henrick Abel, een wiskundige die met groepen werkte nog voordat de formele theorie was vastgelegd, om de onoplosbaarheid van de quintica te bewijzen.

Het woord abeliaans begint meestal met een kleine a.

wikinote: Sommige oudere inhoud op de wiki gebruikt een hoofdletter A voor Abeliaans. We proberen deze inhoud te updaten.

Definitie

Een abeliaanse groep is een groep waarvan twee elementen pendelen. In symbolen wordt een groep $G$ abeliaans genoemd als voor elk element $x$ en $y$ in $G$ geldt $xy = yx$ ( $xy$ geeft hier het product van $x$ en $y$ in $G$ aan). Merk op dat $x,y$ gelijk mogen zijn, hoewel gelijke elementen toch pendelen, zodat we de aandacht kunnen beperken tot ongelijke elementen als we dat willen.

Volledige definitie

Een abeliaanse groep is een verzameling $G$ uitgerust met een (infix)binaire operatie $+$ (de optel- of groepsoperatie genoemd), een identiteitselement $0$ en een (prefix)unaire operatie $-$ , de inverse map of negatie map genoemd, die voldoet aan het volgende:

Voor elke $a,b,c in G$ geldt $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Deze eigenschap heet associativiteit.
Voor elke $a in G$ geldt $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ speelt dus de rol van een additief identiteitselement of neutraal element.
Voor elke $a in G$ geldt $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . $-a$ is dus een invers element van $a$ ten opzichte van $+$ .
Voor $a,b in G$ geldt $a + b = b + a$ . Deze eigenschap heet commutativiteit.

Equivalente formuleringen

Een groep $G$ heet abeliaans als zij aan de volgende equivalente voorwaarden voldoet:

Haar centrum $Z(G)$ is de gehele groep.
Haar afgeleide ondergroep $G' =$ is triviaal.
(Kies een voortbrengende verzameling $S$ voor $G$ ). Voor alle elementen $a,b in S$ geldt $ab = ba$ .
De diagonale ondergroep ${ (g,g) \mid g \in G \}$ is een normale ondergroep binnen $G \times G$ .

Notatie

Wanneer $G$ een abeliaanse groep is, gebruiken we gewoonlijk additieve notatie en terminologie. De groepsvermenigvuldiging heet dan optelling en het product van twee elementen heet de som.

De infix operator $+$ wordt gebruikt voor de groepsvermenigvuldiging, dus de som van twee elementen $a$ en $b$ wordt aangeduid met $a + b$ . De groepsvermenigvuldiging wordt optelling genoemd en het product van twee elementen wordt de som.
Het identiteitselement wordt gewoonlijk aangeduid met $0$ en nul genoemd
De inverse van een element wordt zijn negatieve of additieve inverse genoemd. De inverse van $a$ wordt aangeduid als $-a$
$a + a + a$ gedaan $n$ maal wordt aangeduid als $na$ , (waarbij $n \in \mathbb{N}$ ) terwijl $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ $n$ maal gedaan wordt aangeduid met $(-n)a$ .

Deze conventie wordt meestal gevolgd in een situatie waarin we te maken hebben met de abeliaanse groep $G$ in isolatie, in plaats van als een ondergroep van een mogelijk niet-abeliaanse groep. Als we werken met ondergroepen in een niet-abeliaanse groep, gebruiken we gewoonlijk de vermenigvuldigingsnotatie, zelfs als de ondergroep toevallig abeliaans is.

Voorbeelden

VIEW: groepen die aan deze eigenschap voldoen | groepen die niet aan deze eigenschap voldoen
VIEW: Gerelateerde groepseigenschap satisfactions | Gerelateerde groepseigenschap dissatisfactions

Enkele oneindige voorbeelden

De additieve groep van gehele getallen $\mathbb{Z}$ , de additieve groep van rationale getallen $\mathbb{Q}$ , de additieve groep van de reele getallen $\mathbb{R}$ , de multiplicatieve groep van de rationale getallen zonder nul $\mathbb{Q}^*$ , en de multiplicatieve groep van de reele getallen zonder nul $\mathbb{R}^*$ zijn enkele voorbeelden van Abeliaanse groepen.

(Meer algemeen zijn voor elk veld de additieve groep, en de multiplicatieve groep van de niet-nul elementen, Abeliaanse groepen).

Finiete voorbeelden

Cyclische groepen zijn goede voorbeelden van abeliaanse groepen, waarbij de cyclicische groep van orde $n$ de groep van gehele getallen modulo $n$ is.

Daarnaast is elk direct product van cyclische groepen ook een abeliaanse groep. Verder wordt elke eindig voortgebrachte Abeliaanse groep op deze manier verkregen. Dit is de beroemde structuurstelling voor eindig voortgebrachte abeliaanse groepen.

De structuurstelling kan gebruikt worden om een volledige lijst van eindige abeliaanse groepen te genereren, zoals hier beschreven: classificatie van eindige abeliaanse groepen.

Niet-voorbeelden

Niet elke groep is abeliaans. De kleinste niet-abeliaanse groep is de symmetrische groep op drie letters: de groep van alle permutaties op drie letters, onder samenstelling. Het niet-abeliaans zijn van deze groep berust op het feit dat de volgorde van permutaties van belang is.

Facten

Overeenkomsten als subgroepen

Elke cyclische groep is abeliaans. Daar elke groep wordt gegenereerd door zijn cyclische ondergroepen, wordt elke groep gegenereerd door een familie van abelische ondergroepen. Een lastigere vraag is: bestaan er abelische normale ondergroepen? Een goede kandidaat voor een abelische normale ondergroep is het centrum, dat is de verzameling van elementen van de groep die pendelen met elk element van de groep.

Occurrence as quotients

Het maximale abelische quotiënt van een groep wordt zijn abelianisatie genoemd, en dit is het quotiënt door de afgeleide ondergroep. Een ondergroep is een abeliaanse-quotiënt-ondergroep (d.w.z. normaal met abeliaanse quotiëntgroep) als en slechts als de ondergroep de afgeleide ondergroep bevat.

Metaproperties

variëteitsgroep eigenschap

Naam van de metaproperty	Voldaan?	Bewijs	Verklaring met symbolen
Ja		De verzameling van abeliaanse groepen vormt een deelvariëteit van de variëteit van groepen. In het bijzonder is zij gesloten onder het nemen van ondergroepen, quotiënten, en willekeurige directe producten
subgroep-gesloten groepseigenschap	Ja	abelanness is subgroep-gesloten	Als $G$ een abeliaanse groep is en $H$ is een subgroep van $G$ , dan is $H$ abeliaans.
quotiënt-gesloten groepseigenschap	Ja	abelanness is quotiënt-gesloten	Als $G$ een abeliaanse groep is en $H$ is een normale ondergroep van $G$ , dan is de quotiëntgroep $G/H$ abeliaans.
direct product-gesloten groepseigenschap	Ja	abelanness is direct product-gesloten	Stel dat $G_i, i \in I$ , abeliaanse groepen zijn. Dan is het uitwendig direct product $Prod_{i \in I} G_i$ ook abelisch.

Relatie met andere eigenschappen

Strengere eigenschappen

Eigenschap	Betekenis	Bewijs van implicatie	Bewijs van strengheid (omgekeerde implicatiefout)	Tussenliggende begrippen
cyclische groep	gegenereerd door één element	cyclisch impliceert abelisch	abelisch impliceert niet cyclisch (zie ook lijst met voorbeelden)	Epabeliaanse groep, Lokaal cyclische groep, Residueel cyclische groep\|VULLIGE LIJST, MEER INFO
homocyclische groep	direct product van isomorfe cyclische groepen		(zie ook lijst van voorbeelden)	\|VULLIGE LIJST, MEER INFO
residueel cyclische groep	elk niet-identiteitselement ligt buiten een normale ondergroep met een cyclische quotiëntgroep		(zie ook lijst met voorbeelden)	\|FULL LIST, MEER INFO
lokaal cyclische groep	elke eindig voortgebrachte ondergroep is cyclisch		(zie ook lijst met voorbeelden)	Epabeliaanse groep\|FULL LIST, MEER INFO
epabeliaanse groep	abeliaanse groep waarvan het buitenvierkant de triviale groep is		(zie ook lijst met voorbeelden)	\|FULL LIST, MEER INFO
eindige abelische groep	abelisch en een eindige groep		(zie ook lijst met voorbeelden)	\|FULL LIST, MEER INFO
eindig voortgebrachte abeliaanse groep	en een eindig voortgebrachte groep		(zie ook lijst met voorbeelden)	Residu-cyclische groep\|FULL LIST, MEER INFO

Wijzere eigenschappen

Eigenschap	Betekenis	Bewijs van implicatie	Bewijs van strictheid (falen omgekeerde implicatie)	Tussenliggende begrippen
nilpotente groep	onderste centrale reeks bereikt identiteit, bovenste centrale reeks bereikt gehele groep	abeliaans impliceert nilpotent	nilpotent impliceert niet abeliaans (zie ook lijst met voorbeelden)	Groep waarin klasse gelijk is aan maximale subnormale diepte, Groep van nulpotentiaalklasse drie, Groep van nulpotentiaalklasse twee, Groep van nulpotentiaalklasse twee waarvan de commutatorkaart het dubbel is van een alternerend bihomorfisme dat klasse twee geeft, UL-equivalente groep\|VULL LIST, MEER INFO
oplosbare groep	afgeleide reeks bereikt identiteit, heeft normale reeks met abelische factorgroepen	abelisch impliceert oplosbaar	oplosbaar impliceert niet abelisch (zie ook lijst van voorbeelden)	Metabeliaanse groep, Metanilpotente groep, Nilpotente groep\|VULLIGE LIJST, MEER INFO
metabeliaanse groep	heeft abeliaanse normale ondergroep met abeliaanse quotiëntgroep	(zie ook lijst van voorbeelden)	groep van nilpotentieklasse twee\|VULLIGE LIJST, MEER INFO
virtueel abeliaanse groep	heeft abeliaanse ondergroep van eindige index		(zie ook lijst met voorbeelden)	FZ-groep\|VULL LIST, MEER INFO
FZ-groep	centrum heeft eindige index		(zie ook lijst met voorbeelden)	\|FULL LIST, MEER INFO
FC-groep	elke conjugativiteitsklasse is eindig		(zie ook lijst met voorbeelden)	FZ-groep, Groep met eindige afgeleide ondergroep\|VULL LIST, MORE INFO

Onvergelijkbare eigenschappen

Supersolvabele groep is een groep die een normale reeks heeft waarbij alle opeenvolgende quotiëntgroepen cyclische groepen zijn. Een abeliaanse groep is superoplosbaar als en slechts als zij eindig gegenereerd is.
Polycyclische groep is een groep die een subnormale reeks heeft waarbij alle opeenvolgende quotiëntgroepen cyclische groepen zijn. Een abeliaanse groep is polycyclisch als en slechts als zij eindig gegenereerd is.

Formalismen

In termen van de diagonaal-in-kwadraat operator

Deze eigenschap wordt verkregen door de diagonaal-in-kwadraat operator toe te passen op de eigenschap: normale ondergroep
Bekijk andere eigenschappen verkregen door toepassing van de diagonaal-in-kwadraatoperator

Een groep $G$ is een abeliaanse groep als en slechts als, in het uitwendig direct product $G maal G$ , de diagonale ondergroep ${ (g,g) \mid g \in G \}$ een normale ondergroep is.

Toetsing

Het toetsingsprobleem

Verder: Abelanness testing problem

Het abelanness testing problem is het probleem van het testen of een groep (beschreven met behulp van een of andere groepsbeschrijvingsregel, zoals een codering van een groep of een multi-encodering van een groep) abeliaans is.

Algoritmen voor het testen van abeliciteit variëren van het brute-force black-box group algoritme voor het testen van abeliciteit (waarbij voor elk paar elementen wordt getest of ze commuteren, en dat kwadratisch is in de volgorde van de groep) tot het op genererende sets gebaseerde black-box group algoritme voor het testen van abeliciteit (waarbij alleen op een genererende set wordt getest, en dat kwadratisch is in de grootte van de genererende set).

GAP-commando

Deze groepseigenschap kan worden getest met de ingebouwde functionaliteit van Groups, Algorithms, Programming (GAP).
Het GAP-commando voor deze groepseigenschap is:IsAbelian
De klasse van alle groepen met deze eigenschap kan worden opgevraagd met het ingebouwde commando: AbelianGroups
View GAP-testable group properties

Om te testen of een groep abeliaans is, is de GAP-syntaxis:

IsAbelian (group)

waarbij group ofwel de groep definieert, ofwel de naam geeft aan een eerder gedefinieerde groep.

Studie van dit begrip

Wiskundige vakindeling

Onder de wiskundige vakindeling valt de studie van dit begrip onder de klasse: 20K

Textbook references

Book	Page number	Chapter and section	Contextual information	View
Abstract Algebra by David S. Dummit and Richard M. Foote, 10-cijferig ISBN 0471433349, 13-cijferig ISBN 978-0471433347Meer info	17	Formele definitie (definitie als punt (2) in algemene definitie van groep)
Groepen en representaties door Jonathan Lazare Alperin en Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Meer info	2	1.1 (Rudiments of Group Theory/Review)	definitie geïntroduceerd in paragraaf	Google Books
Algebra van Michael Artin, ISBN 0130047635, 13-cijferig ISBN 978-0130047632Meer info	42		definitie geïntroduceerd in paragraaf (direct na definitie van groep)
Topics in Algebra by I. N. HersteinMeer info	28		Formele definitie
A Course in the Theory of Groups door Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Meer info	2	1.1 (Binary Operations, Semigroups, and Groups)	formele definitie	Google Books
Finite Group Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) by Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Meer info	1	1.1 (Elementaire groepentheorie)	definitie geïntroduceerd in paragraaf	Google Books