Groupe abélien

BY admin

| novembre 24, 2021

Cet article concerne une définition de base en théorie des groupes. Le texte de l’article peut toutefois contenir des éléments avancés.
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Cet article définit une propriété de groupe qui est pivotale (c’est-à-dire, importante) parmi les propriétés de groupe existantes
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Histoire

Origin of the term

Le terme groupe abélien vient de Niels Henrick Abel, un mathématicien qui a travaillé avec des groupes avant même que la théorie formelle ne soit établie, afin de prouver l’insolvabilité du quintique.

Le mot abélien est généralement commencé par un petit a.

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Définition

Un groupe abélien est un groupe où deux éléments quelconques commuent. En symboles, un groupe $G$ est dit abélien si pour tout élément $x$ et $y$ dans $G$ , $xy = yx$ (ici $xy$ désigne le produit de $x$ et $y$ dans $G$ ). Notez que $x,y$ sont autorisés à être égaux, bien que les éléments égaux commuent de toute façon, donc nous pouvons restreindre l’attention si nous le souhaitons aux éléments inégaux.

Définition complète

Un groupe abélien est un ensemble $G$ équipé d’une opération binaire (infixe) $+$ (appelée opération d’addition ou de groupe), d’un élément d’identité $0$ et d’une opération unaire (préfixe) $-$ , appelée carte inverse ou carte de négation, satisfaisant ce qui suit :

Pour tout $a,b,c \in G$ , $a + (b + c) = (a + b) + c$ . Cette propriété est appelée associativité.
Pour tout $a \in G$ , $a + 0 = 0 + a = a$ . $0$ joue donc le rôle d’un élément d’identité additif ou élément neutre.
Pour tout $a \in G$ , $a + (-a) = (-a) + a = 0$ . Ainsi, $-a$ est un élément inverse à $a$ par rapport à $+$ .
Pour tout $a,b \in G$ , $a + b = b + a$ . Cette propriété est appelée commutativité.

Formulations équivalentes

Un groupe $G$ est dit abélien s’il satisfait aux conditions équivalentes suivantes :

Son centre $Z(G)$ est le groupe entier.
Son sous-groupe dérivé $G' =$ est trivial.
(Choisir un ensemble générateur $S$ pour $G$ ). Pour tout élément $a,b \in S$ , $ab = ba$ .
Le sous-groupe diagonal $\{ (g,g) \mid g \in G \}$ est un sous-groupe normal à l’intérieur de $G \times G$ .

Notation

Lorsque $G$ est un groupe abélien, nous utilisons typiquement une notation et une terminologie additives. Ainsi, la multiplication du groupe est appelée addition et le produit de deux éléments est appelé somme.

L’opérateur infixe $+$ est utilisé pour la multiplication de groupe, ainsi la somme de deux éléments $a$ et $b$ est désignée par $a + b$ . La multiplication de groupe est appelée addition et le produit de deux éléments est appelé somme.
L’élément identité est généralement noté $0$ et qualifié de zéro
L’inverse d’un élément est qualifié de son inverse négatif ou additif. L’inverse de $a$ est noté $-a$
$a + a + \ldots + a$ fait $n$ fois est noté $na$ , (où $n \in \in \mathbb{N}$ ) alors que $(-a) + (-a) + (-a) + \ldots + (-a)$ fait $n$ fois est noté $(-n)a$ .

Cette convention est typiquement suivie dans une situation où l’on traite le groupe abélien $G$ de manière isolée, plutôt que comme un sous-groupe d’un groupe éventuellement non abélien. Si nous travaillons avec des sous-groupes dans un groupe non abélien, nous utilisons typiquement la notation multiplicative même si le sous-groupe se trouve être abélien.

Exemples

VUE : groupes satisfaisant cette propriété | groupes insatisfaisant cette propriété
VUE : Groupes connexes satisfaisant cette propriété | Groupes connexes insatisfaisant cette propriété

Quelques exemples infinis

Le groupe additif des entiers $\mathbb{Z}$ , le groupe additif des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ , le groupe additif des nombres réels $\mathbb{R}$ , le groupe multiplicatif des rationnels non nuls $\mathbb{Q}^*$ , et le groupe multiplicatif des réels non nuls $\mathbb{R}^*$ sont quelques exemples de groupes abéliens.

(Plus généralement, pour tout champ, le groupe additif, et le groupe multiplicatif des éléments non nuls, sont des groupes abéliens).

Exemples finis

Les groupes cycliques sont de bons exemples de groupes abéliens, où le groupe cyclique d’ordre $n$ est le groupe des entiers modulo $n$ .

De plus, tout produit direct de groupes cycliques est aussi un groupe abélien. De plus, tout groupe abélien finiment engendré est obtenu de cette façon. C’est le fameux théorème de structure pour les groupes abéliens finiment engendrés.

Le théorème de structure peut être utilisé pour générer une liste complète des groupes abéliens finis, comme décrit ici : classification des groupes abéliens finis.

Non-exemples

Pas tous les groupes sont abéliens. Le plus petit groupe non abélien est le groupe symétrique sur trois lettres : le groupe de toutes les permutations sur trois lettres, sous composition. Son caractère non abélien repose sur le fait que l’ordre dans lequel les permutations sont effectuées a de l’importance.

Faits

Occurrence comme sous-groupes

Tout groupe cyclique est abélien. Puisque chaque groupe est généré par ses sous-groupes cycliques, chaque groupe est généré par une famille de sous-groupes abéliens. Une question plus délicate est : existe-t-il des sous-groupes normaux abéliens ? Un bon candidat pour un sous-groupe normal abélien est le centre, qui est la collection d’éléments du groupe qui commute avec chaque élément du groupe.

Occurrence comme quotients

Le quotient abélien maximal de tout groupe est appelé son abélianisation, et c’est le quotient par le sous-groupe dérivé. Un sous-groupe est un sous-groupe abélien quotient (c’est-à-dire normal avec un groupe abélien quotient) si et seulement si le sous-groupe contient le sous-groupe dérivé.

Métapropriétés

Nom de la métapropriété	Satisfait ?	Preuve	Énoncé avec symboles
propriété de groupe variétal	Oui		La collection des groupes abéliens forme une sous-variété de la variété des groupes. En particulier, elle est fermée sous prise de sous-groupes, de quotients, et des produits directs arbitraires
propriété des groupes fermés par sous-groupes	Oui	l’abélianité est fermée par sous-groupes	Si $G$ est un groupe abélien et que $H$ est un sous-groupe de $G$ , alors $H$ est abélien.
Propriété des groupes à quotient fermé	Oui	l’abélianité est à quotient fermé	Si $G$ est un groupe abélien et que $H$ est un sous-groupe normal de $G$ , le groupe quotient $G/H$ est abélien.
Propriété des groupes à produit direct fermé	Oui	l’abélianité est à produit direct fermé	Supposons que $G_i, i \in I$ , soient des groupes abéliens. Alors, le produit direct externe $\prod_{i \in I} G_i$ est également abélien.

Relation avec d’autres propriétés

Propriétés plus fortes

Propriété	Signification	Preuve d’implication	Preuve de rigueur (échec d’implication inverse)	. Notions intermédiaires
Groupe cyclique	engendré par un élément	cyclique implique abélien	abélien n’implique pas cyclique (voir aussi liste d’exemples)	Groupe épabélien, Groupe localement cyclique, Groupe résiduellement cyclique\|LISTE COMPLÈTE, PLUS D’INFO
groupe homocyclique	produit direct de groupes cycliques isomorphes		(voir aussi liste d’exemples)	\|LISTE COMPLÈTE, MORE INFO
groupe résiduellement cyclique	chaque élément non identitaire est en dehors d’un sous-groupe normal avec un groupe quotient cyclique		(voir aussi liste d’exemples)	\|FULL LIST, MORE INFO
groupe localement cyclique	tout sous-groupe finiment engendré est cyclique		(voir aussi la liste d’exemples)	groupe épabélien\|LISTE COMPLÈTE, MORE INFO
groupe épabélien	groupe abélien dont le carré extérieur est le groupe trivial	(voir aussi la liste des exemples)	\|FULL LIST, MORE INFO
groupe abélien fini	abélien et un groupe fini		(voir aussi la liste des exemples)	\|LISTE COMPLÈTE, MORE INFO
groupe abélien finiment engendré	abélien et un groupe finiment engendré		(voir aussi la liste des exemples)	Groupe cyclique résiduel\|FULL LIST, PLUS D’INFO

Propriétés plus faibles

Propriété	Signification	Preuve d’implication	. Preuve de la rigueur (échec de l’implication inverse)	Notions intermédiaires
Groupe nilpotent	La série centrale inférieure atteint l’identité, la série centrale supérieure atteint le groupe entier	abélien implique nilpotent	nilpotent n’implique pas abélien (voir aussi liste d’exemples)	Groupe dans lequel la classe est égale à la profondeur subnormale maximale, Groupe de nilpotence de classe trois, Groupe de nilpotence de classe deux, Groupe de nilpotence de classe deux dont la carte de commutateur est le double d’un bihomorphisme alternatif donnant la classe deux, Groupe UL-équivalent\|LISTE COMPLÈTE, PLUS D’INFO
groupe solvable	série dérivée atteint l’identité, a des séries normales avec des groupes facteurs abéliens	abélien implique solvable	solvable n’implique pas abélien (voir aussi liste d’exemples)	Groupe métabélien, Groupe métabélien, groupe nilpotent\|LISTE COMPLÈTE, PLUS D’INFO
groupe métabélien	a un sous-groupe normal abélien avec un groupe quotient abélien	(voir aussi liste d’exemples)	Groupe de classe de nilpotence deux\|LISTE COMPLÈTE, PLUS D’INFO
Groupe virtuellement abélien	a un sous-groupe abélien d’indice fini		(voir aussi la liste des exemples)	Groupe FZ\|LISTE COMPLÈTE, MORE INFO
Le groupe FZ	centre a un indice fini		(voir aussi la liste d’exemples)	\|FULL LIST, PLUS D’INFO
Groupe FC	toute classe de conjugaison est finie		(voir aussi liste d’exemples)	Groupe FZ, Groupe avec sous-groupe dérivé fini\|LISTE COMPLÈTE, PLUS D’INFO

Propriétés incomparables

Un groupe supersolvable est un groupe qui possède une série normale où tous les groupes quotients successifs sont des groupes cycliques. Un groupe abélien est supersolvable si et seulement s’il est finiment engendré.
Un groupe polycyclique est un groupe qui a une série subnormale où tous les groupes quotients successifs sont des groupes cycliques. Un groupe abélien est polycyclique si et seulement s’il est finiment engendré.

Formalismes

En termes d’opérateur diagonal au carré

Cette propriété est obtenue en appliquant l’opérateur diagonal au carré à la propriété : sous-groupe normal
Voir d’autres propriétés obtenues en appliquant l’opérateur diagonale-dans-le-carré

Un groupe $G$ est un groupe abélien si et seulement si, dans le produit direct externe $G \times G$ , le sous-groupe diagonal $\{ (g,g) \mid g \in G \}$ est un sous-groupe normal.

Tests

Le problème des tests

Plus d’informations : Problème de test d’abélianité

Le problème de test d’abélianité est le problème de tester si un groupe (décrit à l’aide d’une certaine règle de description de groupe, comme un encodage d’un groupe ou un multi-encodage d’un groupe) est abélien.

Les algorithmes pour le problème du test d’abélianité vont de l’algorithme de groupe boîte noire à force brute pour le test d’abélianité (qui implique de tester pour chaque paire d’éléments s’ils commuent, et est quadratique dans l’ordre du groupe) à l’algorithme de groupe boîte noire à base d’ensemble générateur pour le test d’abélianité (qui implique de tester uniquement sur un ensemble générateur, et est quadratique dans la taille de l’ensemble générateur).

Commande GAP

Cette propriété de groupe peut être testée en utilisant la fonctionnalité intégrée de Groupes, Algorithmes, Programmation (GAP).
La commande GAP pour cette propriété de groupe est:IsAbelian
La classe de tous les groupes avec cette propriété peut être référencée avec la commande intégrée : AbelianGroups
Voir les propriétés de groupe testables par GAP

Pour tester si un groupe est abélien, la syntaxe GAP est:

IsAbelian (groupe)

où groupe définit le groupe ou donne le nom à un groupe précédemment défini.

Etude de cette notion

Classification des matières mathématiques

Dans la classification des matières mathématiques, l’étude de cette notion relève de la classe : 20K

Références de manuels

Livre	Numéro de page	Chapitre et section	Informations contextuelles	Vue
Algèbre abstraite par David S. Dummit et Richard M. Foote, 10-digit ISBN 0471433349, 13-digit ISBN 978-0471433347Plus d’infos	17	Définition formelle (définition comme point (2) dans la définition générale du groupe)
Groupes et représentations par Jonathan Lazare Alperin et Rowen B. Bell, ISBN 0387945261Plus d’infos	2	1.1 (Rudiments de la théorie des groupes/Revue)	définition introduite dans le paragraphe	Google Livres
Algèbre par Michael Artin, ISBN 0130047635, ISBN à 13 chiffres 978-0130047632Plus d’infos	42		définition introduite dans le paragraphe (immédiatement après la définition du groupe)
Topics in Algebra par I. N. Herstein. N. HersteinPlus d’infos	28		Définition formelle
Un cours de théorie des groupes par Derek J. S. Robinson, ISBN 0387944613Plus d’infos	2	1.1 (Opérations binaires, semigroupes et groupes)	définition formelle	Google Books
Théorie des groupes finis (Cambridge Studies in Advanced Mathematics) par Michael Aschbacher, ISBN 0521786754Plus d’infos	1	1.1 (Théorie élémentaire des groupes)	définition introduite dans le paragraphe	Google Livres